分析:(1)證明PA⊥面ABCD,可得PA⊥CD,再證明AE⊥CD,從而可得CD⊥平面PAE,利用面面垂直的判定,可得平面PAE⊥平面PCD;
(2)解法1:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB、AE、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面PFD的法向量
=(1,,),平面APF的法向量為
=(0,1,0),利用二面角A-PE-D的大小為45°,結(jié)合向量的夾角公式,即可求得結(jié)論;
解法2:設(shè)AF=x,延長BA,過點(diǎn)D作BA延長線的垂線DH,垂足為H,過H作PF的垂線HO,O為垂足,再連接D0,可得∠HOD就為二面角A-PF-D的平面角,利用二面角A-PF-D的大小為45°,建立方程,即可求得結(jié)論.
解答:(1)證明:因?yàn)镻A⊥AD,二面角P-AD-C是直二面角,所以PA⊥面ABCD,
因?yàn)镈C?面ABCD,所以PA⊥CD.
連接AC,
因?yàn)锳BCD為菱形,∠BAD=120°,所以∠CAD=60°,∠ADC=60°,
所以△ADC是等邊三角形.
因?yàn)镋是CD的中點(diǎn),所以AE⊥CD,
因?yàn)镻A∩AE=A,所以CD⊥平面PAE,而CD?平面PCD,所以平面PAE⊥平面PCD.…(5分)
(2)解法1:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB、AE、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)镻A⊥面ABCD,所以∠PCA是PC與面ABCD所成角,所以∠PCA=45°,所以PA=AC=AB=2,
于是P(0,0,2),D(-1,
,0),
=(-1,).
設(shè)AF=λ,則0<λ<2,F(xiàn)(λ,0,0),所以
=(λ,0,-2).…(7分)
設(shè)平面PFD的法向量為
=(x,y,z),則有
•=0,•=0,∴
令x=1,則z=
,y=
,所以平面PFD的法向量為
=(1,,).
而平面APF的法向量為
=(0,1,0)…(9分)
所以
|cos<,>|==,
整理得λ
2+8λ-8=0,解得λ=
2-4或λ=
-2-4舍去.…(11分)
因?yàn)?<
2-4<2,所以在AB上存在一點(diǎn)F,使得二面角A-PF-D的大小為45°,此時AF=
2-4.…(12分)
解法2:設(shè)AF=x,延長BA,過點(diǎn)D作BA延長線的垂線DH,垂足為H.
由于DH⊥AB,PA⊥DH,且PA∩AB=A,故DH⊥平面PAB…(6分)
過H作PF的垂線HO,O為垂足,再連接D0,可得:D0⊥PF,則∠HOD就為二面角A-PF-D的平面角.…(7分)
在Rt△ADH中,求得:AH=1,DH=
…(8分)
在Rt△FOD中,F(xiàn)H=AF+AH=x+1,OH=
…(9分)
在Rt△HOD中,當(dāng)∠HOD=45°,則有:OH=DH,此時:
=,解得:x=
2-4…(12分)
所以在AB上存在一點(diǎn)F,使得二面角A-PF-D的大小為45°,此時AF=
2-4.…(12分)