Question

（06年湖南卷理）（14分）

 已知函數(shù), 數(shù)列滿足: ,

   證明 (Ⅰ)  ;  

(Ⅱ)  .

Answer 1

解析：證明: （I）．先用數(shù)學(xué)歸納法證明，ｎ＝1,2,3,…

          (i).當(dāng)n=1時,由已知顯然結(jié)論成立.

          (ii).假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立,即.因為0時

,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù). 又f(x)在[0,1]上連續(xù),

從而.故n=k+1時,結(jié)論成立.

由(i)、(ii)可知，對一切正整數(shù)都成立.

又因為時，，

所以，綜上所述．

（II）．設(shè)函數(shù)，．由（I）知，當(dāng)時，，

　　　從而

所以g (x)在(0,1)上是增函數(shù). 又g (x)在[0,1]上連續(xù),且g (0)=0,

  所以當(dāng)時，g (x)>0成立.于是．

　　　　　　　故．