Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且4S_n=a_n²+2a_n對任意的n∈N^*恒成立．
（Ⅰ）求a₁、a₂及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

anan+1

，記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，是否存在實數(shù)λ，使不等式λS_n+1＞a_nT_n+1 對任意的正整數(shù)n都成立．若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知，4S_n=a_n²+2a_n仿寫出4Sn+1=an+12+2an+1兩式相減并整理a_n+1-a_n-2=0判定出數(shù){a_n}列是以a₁=2為首項，d=2為公差，代入通項公式求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出{b_n}的通項公式為b_n═

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)利用裂項求和的方法求出T_n，得λ(n+1)(n+2)＞

n(n+1)

2(n+2)

，分離參數(shù)利用基本不等式求最值求出λ的取值范圍；

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，當(dāng)n=1時，4a1=a12+2a1，又a₁＞0，所以a₁=2 …（1分）
當(dāng)n=2時，4(a1+a2)=a22+2a2，又a₂＞0，所以a₂=4…（2分）
∵4S_n=a_n²+2a_n∴4Sn+1=an+12+2an+1
兩式相減并整理得  （a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0…（4分）
∵a_n+1+a_n＞0∴a_n+1-a_n-2=0…（5分）
所以數(shù){a_n}列是以a₁=2為首項，d=2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2n…（6分）
（Ⅱ由）∵b_n═

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)
Tn=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

n

4(n+1)

…（8分）
又Sn=

1

4

(an2+2an)=n(n+1)
∴由λS_n+1＞a_nT_n+1 得λ(n+1)(n+2)＞

n(n+1)

2(n+2)

∴λ＞

n

2(n+2)2

=

1

2n+ 8 n +8

…（10分）
∵2n+

8

n

+8≥2

2n• 8 n

+8=16 當(dāng)且僅當(dāng)2n=

8

n

即n=2時取”=”
∴

1

2n+ 8 n +8

≤

1

16

   …（12分）
∴λ＞

1

16

∴存在實數(shù)λ，使不等式λS_n+1＞a_nT_n+對任意的正整數(shù)n都成立，且λ＞

1

16

…（13分）

點評：本題考查數(shù)列求通項、前n項和；不等式恒成立求參數(shù)范圍、利用基本不等式求最值，屬于一道綜合題．