【題目】已知函數(shù)
(1)若y=f(x)在(0,+∞)恒單調(diào)遞減,求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)y=f(x)有兩個極值點(diǎn)x1 , x2(x1<x2),求a的取值范圍并證明x1+x2>2.

【答案】
(1)解:因?yàn)閒'(x)=lnx﹣ax+1(x>0),

所以由f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立得

,易知g(x)在(0,1)單調(diào)遞增(1,+∞)單調(diào)遞減,

所以a≥g(1)=1,

即得:a≥1


(2)解:函數(shù)y=f(x)有兩個極值點(diǎn)x1,x2(x1<x2),

即y=f'(x)有兩個不同的零點(diǎn),且均為正,f'(x)=lnx﹣ax+1(x>0),

令F(x)=f'(x)=lnx﹣ax+1,由 可知

1)a≤0時(shí),函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),不可能有兩個零點(diǎn).

2)a>0時(shí),y=F(x)在 是增函數(shù)在 是減函數(shù),

此時(shí) 為函數(shù)的極大值,也是最大值.

當(dāng) 時(shí),最多有一個零點(diǎn),所以 才可能有兩個零點(diǎn),

得:0<a<1

此時(shí)又因?yàn)? ,

,φ(a)在(0,1)上單調(diào)遞增,

所以φ(a)<φ(1)=3﹣e2,即

綜上,所以a的取值范圍是(0,1)

下面證明x1+x2>2

由于y=F(x)在 是增函數(shù)在 是減函數(shù), ,可構(gòu)造出

構(gòu)造函數(shù)

,故m(x)在區(qū)間 上單調(diào)減.又由于

,即有m(x1)>0在 上恒成立,即有 成立.

由于 , ,y=F(x)在 是減函數(shù),所以

所以 成立


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),問題轉(zhuǎn)化為 ,令 ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g(x)的最大值,從而求出a的范圍即可;(2)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),令F(x)=f'(x)=lnx﹣ax+1,求出函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍求出a的范圍,證明即可.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題.

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B. π
C. π
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圍是(
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B.
C.
D.

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A.{Sn}為遞減數(shù)列
B.{Sn}為遞增數(shù)列
C.{S2n1}為遞增數(shù)列,{S2n}為遞減數(shù)列
D.{S2n1}為遞減數(shù)列,{S2n}為遞增數(shù)列

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