Question

【題目】已知橢圓C： =1，直線l過(guò)點(diǎn)M（﹣1，0），與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)N．
（1）設(shè)MN的中點(diǎn)恰在橢圓C上，求直線l的方程；
（2）設(shè) =λ ， =μ ，試探究λ+μ是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)點(diǎn)N（0，n），則MN的中點(diǎn)為（﹣ ， ），

∴ + =1，解得n=± ，

所以直線l的方程為：y=± （x+1）

（2）

解：由題意可知，直線AB的斜率存在且不為0，可設(shè)直線方程為x=ty﹣1，

A（x1，y1），B（x2，y2），M（﹣1，0），N（0，﹣ ），

由 =λ ， =μ ，可得y1+ =λ（0﹣y1），

y2+ =μ（0﹣y2），

聯(lián)立 ，消x可得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，

所以y1+y2= ，y1y2=﹣ ．

得λ=﹣1﹣ ，同理可得μ=﹣1﹣ ，

所以λ+μ=﹣2﹣ （ + ）=﹣2﹣ （ ）=﹣2﹣ =﹣ ．

故λ+μ為定值﹣

【解析】（1）設(shè)點(diǎn)N（0，n），表示出MN中點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得n值，從而可得直線方程；（2）直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為x=ty﹣1，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（﹣1，0），N（0，﹣ ），聯(lián)立 ，消x可得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，利用韋達(dá)定理，以及向量共線的坐標(biāo)可得λ=﹣1﹣ ，同理可得μ=﹣1﹣ ，然后化簡(jiǎn)即可．