Question

10．已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D（1，0），且與直線x=-1相切，設(shè)動(dòng)圓圓心E的軌跡為曲線C
（Ⅰ）求取曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線l₁，l₂分別與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，直線l₁，l₂的斜率存在，且傾斜角互補(bǔ)，證明：直線AB的斜率為定值．

Answer 1

分析 （I）由拋物線的定義可知E的軌跡為以D為焦點(diǎn)，以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
（II）設(shè)l₁，l₂的方程，聯(lián)立方程組消元解出A，B的坐標(biāo)，代入斜率公式計(jì)算k_AB．

解答 解：（I）∵動(dòng)圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D（1，0），且與直線x=-1相切，
∴E到點(diǎn)D（1，0）的距離等于E到直線x=-1的距離，
∴E的軌跡是以D（1，0）為焦點(diǎn)，以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線．
∴曲線C的方程為y²=4x．
（II）設(shè)直線l₁方程為：y=k（x-1）+2，
∵直線l₁，l₂的斜率存在，且傾斜角互補(bǔ)，
∴l(xiāng)₂的方程為y=-k（x-1）+2．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：k²x²-（2k²-4k+4）x+（k-2）²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），則x₁=$\frac{（k-2）^{2}}{{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{2}-4k+4}{{k}^{2}}$．
同理可得x₂=$\frac{{k}^{2}+4k+4}{{k}^{2}}$，
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，x₁-x₂=$\frac{-8k}{{k}^{2}}$=$\frac{-8}{k}$．
∴y₁-y₂=[k（x₁-1）+2]-[-k（x₂-1）+2]=k（x₁+x₂）-2k=$\frac{2{k}^{2}+8}{k}-2k=\frac{8}{k}$．
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-1．
∴直線AB的斜率為定值-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義與性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．