Question

10．已知函數(shù)g（x）=x-1，函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-2f（x）-1，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=x²-x，對(duì)于?x₁∈（1，2]，?x₂∈R，則（x₁-x₂）²+（f（x₁）-g（x₂））²的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{49}{128}$
• C． $\frac{81}{128}$
• D． $\frac{125}{128}$

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-2f（x）-1，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=x²-x，?x₁∈（1，2]，x₁-1∈[0，1]，則f（x₁）=-2f（x₁-1）-1-1=$-2{x}_{1}^{2}$+6x₁-5．
設(shè)直線y=x+m與拋物線y=-2x²+6x-5相切，化為2x²-5x+5+m=0，令△=0，解得m．利用平行線之間的距離公式即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-2f（x）-1，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=x²-x，
?x₁∈（1，2]，x₁-1∈[0，1]，則f（x₁）=-2f（x₁-1）-1=-2$[（{x}_{1}-1）^{2}-（{x}_{1}-1）]$-1=$-2{x}_{1}^{2}$+6x₁-5．
設(shè)直線y=x+m與拋物線y=-2x²+6x-5相切，化為2x²-5x+5+m=0，令△=25-8（5+m）=0，解得m=$-\frac{15}{8}$．
∴兩條平行線y=x-1與y=x-$\frac{15}{8}$的距離d=$\frac{|-1+\frac{15}{8}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{7}{8\sqrt{2}}$．
∴（x₁-x₂）²+（f（x₁）-g（x₂））²的最小值為$\frac{49}{128}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與拋物線相切的性質(zhì)、平行線之間的距離公式、函數(shù)的解析式，考查了轉(zhuǎn)化能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．