Question

從雙曲線

x2

3

-

y2

5

=1的左焦點(diǎn)F引圓x²+y²=3的切線FP交雙曲線右支于點(diǎn)P，T為切點(diǎn)，M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO|-|MT|等于

 

．

Answer 1

分析：利用坐標(biāo)原點(diǎn)是兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，利用三角形的中位線的性質(zhì)得到MO用焦半徑表示；將MT用焦半徑表示；利用圓的切線與過切點(diǎn)的半徑垂直得到直角三角形；利用勾股定理及雙曲線的定義，求出值．

解答：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F₁，因?yàn)镺為FF₁中點(diǎn)，M為PF中點(diǎn)，所以MO為三角形PFF₁的中位線，
|MO|=

1

2

|PF₁|，
又|MT|=|PT|-|PM|=|PF|-|FT|-

1

2

|PF|=

1

2

|PF|-|FT|，
所以|MO|-|MT|=

1

2

（|PF₁|-|PF|）+|FT|=|FT|-a，
又a=

3

，
|FT|=

|FO|2-3

=

5

．
所以|MO|-|MT|=

5

-

3

．
故答案為

5

-

3

．

點(diǎn)評：在解決雙曲線中的有關(guān)中點(diǎn)問題時(shí)，要注意坐標(biāo)原點(diǎn)是兩個(gè)焦點(diǎn)的中點(diǎn)、解決與雙曲線的與焦點(diǎn)有關(guān)的問題常聯(lián)系雙曲線的定義．