Question

在空間直角坐標(biāo)系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，﹣3），試問

（1）在y軸上是否存在點(diǎn)M，滿足|MA|=|MB|？

（2）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形？若存在，試求出點(diǎn)M坐標(biāo)．

 

Answer 1

（1）y軸上所有點(diǎn)都滿足關(guān)系|MA|=|MB|；

（2）M坐標(biāo)為（0，，0），或（0，，0）．

【解析】

試題分析：（1）若能求出y軸上點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|，則問題得到解決，故可先假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)M（0，y，0），由|MA|=|MB|，建立關(guān)于參數(shù)y的方程，求y，若y值存在，則說明假設(shè)成立，在y軸上 存在點(diǎn)M，滿足|MA|=|MB|，否則說明不存在．

（2）由（1）知，△MAB為等腰三角形，若能證明|MA|=|AB|則可以說明存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形，故可令|MA|=|AB|建立方程求y，若y值存在，則說明存在，否則說明不存在．

【解析】
（1）假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，滿足|MA|=|MB|．

因M在y軸上，可設(shè)M（0，y，0），由|MA|=|MB|，

可得，

顯然，此式對(duì)任意y∈R恒成立．

這就是說y軸上所有點(diǎn)都滿足關(guān)系|MA|=|MB|．

（2）假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形．

由（1）可知，y軸上任一點(diǎn)都有|MA|=|MB|，

所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等邊三角形．

因?yàn)閨MA|=

于是，解得

故y軸上存在點(diǎn)M使△MAB等邊，

M坐標(biāo)為（0，，0），或（0，，0）．