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已知數列和滿足：，，，其中為實數，為正整數。

（Ⅰ）證明：對任意的實數，數列不是等比數列；

（Ⅱ）證明：當時，數列是等比數列；

（Ⅲ）設為數列的前項和，是否存在實數，使得對任意正整數，都有？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由。

 

【答案】

（Ⅰ）證明：假設存在一個實數，使是等比數列，則有，即

，矛盾。

所以不是等比數列。

（Ⅱ）證明：

。

又。由上式知，

故當時，數列是以為首項，為公比的等比數列。

（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）得，于是

，

當時，，從而。上式仍成立。

要使對任意正整數，都有。

即。

令，則

當為正奇數時，：當為正偶數時，，

的最大值為。

于是可得。

綜上所述，存在實數，使得對任意正整數，都有；

的取值范圍為。

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（07年湖北卷文）（13分）

已知數列和滿足：，，，（），且是以為公比的等比數列．

（I）證明：；

（II）若，證明數列是等比數列；

（III）求和：．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列和滿足：，，，

其中為實數，.

⑴ 對任意實數，證明數列不是等比數列；

⑵ 證明：當，數列是等比數列；

⑶設為數列的前項和，是否存在實數，使得對任意正整數，都有？

若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年四川省雙流市外語學校高三9月月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知數列和滿足：, 其中為實數，為正整數．

（Ⅰ）對任意實數，證明數列不是等比數列；

（Ⅱ）對于給定的實數，試求數列的前項和；

（Ⅲ）設，是否存在實數，使得對任意正整數，都有成立? 若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年四川省宜賓市高三第二次診斷性測試數學理卷 題型：解答題

（（本小題滿分14分）

已知數列和滿足：，其中為實數，n為正整數，數列的前n項和為

（I）對于給定的實數，試求數列的通項公式，并求

（II）設數列，試求數列的最大項和最小項；

（III）設，是否存在實數，使得對任意實數n，都有成立？若存在，求

的取值范圍；若不存在，說明理由

 

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011年安徽省高一第二學期期中考試數學試卷 題型：解答題

(12分)

已知數列 和滿足

   (1)當時，求證：對于任意的實數,一定不是等差數列；

 (2)當時，試判斷是否為等比數列；

 

 

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