Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|ax-4|．
（Ⅰ）若a=1，存在x∈R使f（x）＜c成立，求c的取值范圍；
（Ⅱ）若a=2，解不等式f（x）≥5．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，做出f（x）=|x+2|+|x-4|的圖象，討論函數(shù)圖象即可得解．
（Ⅱ）不等式即|x+2|+|2x-4|≥5，通過去絕對(duì)值符號(hào)，列出不等式組，分別求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集即得所求．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，存在x∈R使f（x）=|x+2|+|x-4|＜c成立，
做出f（x）的圖象如下：

由函數(shù)圖象可知：當(dāng)-2≤x≤4時(shí)，f（x）=6＜C，
故C＞6．…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，不等式f（x）≥5，即|x+2|+|2x-4|≥5，
等價(jià)于 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{2+x+2（2-x）≥5}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{x+2+2（2-x）≥5}\end{array}\right.$，或  $\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x+2+2（x-2）≥5}\end{array}\right.$，
解得：x≤1，或x≥$\frac{7}{3}$，
故不等式f（x）≥5的解集為 {x|x≤1，或x≥$\frac{7}{3}$}．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，考查分類討論思想，屬于中檔題．