Question

甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿(mǎn)6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為

2

3

，乙在每局中獲勝的概率為

1

3

，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，求比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)ξ的期望Eξ．

Answer 1

分析：由題意比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿(mǎn)6局時(shí)停止，所以隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為2，4，6，利用隨機(jī)變量的定義及獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求出每一個(gè)隨機(jī)變量取值時(shí)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件的概率，在有離散型隨機(jī)的期望公式求出期望．

解答：解：依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6，
設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠啠瑒t該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為(

2

3

)2+(

1

3

)2=

5

9

．
若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響．從而有P(ξ=2)=

5

9

，P(ξ=4)=(

4

9

)(

5

9

)=

20

81

，P(ξ=6)=(

4

9

)2=

16

81

，
故Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于隨機(jī)變量的基本題型．重在考查學(xué)生對(duì)于題意的準(zhǔn)確理解，以及對(duì)于隨機(jī)變量的定義的理解及獨(dú)立事件及其公式的準(zhǔn)確理解及應(yīng)用，此外還考查了期望的定義．