Question

10．已知函數(shù)f（x）=|xe^x|，方程f²（x）-tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍為（　�。�

• A． $（\frac{{{e^2}+1}}{e}，+∞）$
• B． $（-∞，-\frac{{{e^2}+1}}{e}）$
• C． $（-\frac{{{e^2}+1}}{e}，-2）$
• D． $（2，\frac{{{e^2}+1}}{e}）$

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=|xe^x|化成分段函數(shù)，通過求導(dǎo)分析得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，在（-∞，-1）上為增函數(shù)，在（-1，0）上為減函數(shù)，求得函數(shù)f（x）在（-∞，0）上，當(dāng)x=-1時(shí)有一個(gè)最大值 $\frac{1}{e}$，所以，要使方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根，f（x）的值一個(gè)要在（0，$\frac{1}{e}）$，內(nèi)，一個(gè)在（$\frac{1}{e}$，+∞）內(nèi)，然后運(yùn)用二次函數(shù)的圖象及二次方程根的關(guān)系列式求解t的取值范圍．

解答 解：f（x）=|xe^x|=$\left\{\begin{array}{l}{x{e}^{x}…（x≥0）}\\{-x{e}^{x}…（x＜0）}\end{array}\right.$
當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=e^x+xe^x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）=-e^x（x+1）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）=-e^x（x+1）＜0，f（x）為減函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）=|xe^x|在（-∞，0）上有一個(gè)最大值為f（-1）=-（-1）e^-1=$\frac{1}{e}$，
要使方程f²（x）-f（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根，
令f（x）=m，則方程m²+tm+1=0應(yīng)有兩個(gè)不等根，且一個(gè)根在（0，$\frac{1}{e}$），一個(gè)根在（$\frac{1}{e}，+∞）$內(nèi)．
再令g（m）=m^2_-m+1，因?yàn)間（0）=1＞0，則只需g（$\frac{1}{e}$）＜0，即$（\frac{1}{e}）^{2}-\frac{1}{e}•t+1＜0$
t＞$\frac{{e}^{2}+1}{e}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，解答此題的關(guān)鍵是分析出方程f²（x）-f（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)f（x）的取值情況，屬于中高檔題