已知向量
a
=(cos
3x
2
,sin
3x
2
),
b
=(cos
x
2
,-sin
x
2
),且x∈[0,
π
2
].
(1)已知
a
b
,求x;
(2)若f(x)=
a
b
-2λ|
a
+
b
|+2λ的最小值等于-3,求λ的值.
分析:(1)利用向量共線的結(jié)論,化簡可求x;
(2)利用向量的數(shù)量積公式化簡函數(shù),再利用二次函數(shù)求最值的方法,分類討論,即可求λ的值.
解答:解:(1)∵
a
b
,
∴cos
3x
2
×(-sin
x
2
)-sin
3x
2
cos
x
2
=0,即sin2x=0,
∵x∈[0,
π
2
],∴x=0,
π
2
…(3分)
(2)∵
a
=(cos
3x
2
,sin
3x
2
),
b
=(cos
x
2
,-sin
x
2
),
a
b
=cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
=cos2x,
|
a
+
b
|=
2+2
a
b
=
2+2cos2x
,
∵x∈[0,
π
2
],
∴f(x)=cos2x-2λ
1+2cos2x
+2λ=2cos2x-4λcosx+2λ-1,
令g(t)=2t2-4λt+2λ-1,0≤t≤1
∴①當(dāng)λ≤0時,g(t)在[0,1]上為增函數(shù),
g(t)min=g(0)=2λ-1=-3,
∴λ=-1≤0;
②當(dāng)0<λ≤1時,g(t)min=g(λ)=-3,
∴λ2-λ-1=0∴λ=
5
2
∉[0,1],舍去;
③當(dāng)λ>1時,g(t)在[0,1]上為減函數(shù),
g(t)min=g(1)=1-2λ=-3,
∴λ=2>0.
∴由上可知,λ=-1或2.
點評:本題考查向量的數(shù)量積公式,考查三角函數(shù)的化簡,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,考查學(xué)生的計算能力,正確化簡函數(shù)是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cosα,1),
b
=(-2,sinα),α∈(π,
2
)
,且
a
b

(1)求sinα的值;
(2)求tan(α+
π
4
)
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cos(-θ),sin(-θ)),
b
=(cos(
π
2
-θ),sin(
π
2
-θ))

(1)求證:
a
b

(2)若存在不等于0的實數(shù)k和t,使
x
=
a
+(t2+3)
b
y
=(-k
a
+t
b
),滿足
x
y
,試求此時
k+t2
t
的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cosθ,sinθ),θ∈[0,π],向量
b
=(
3
,1),b=(
3
,1)
,
a
b
,則θ=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cosα,sinα),
b
=(sinβ,-cosβ),則|
a
+
b
|最大值為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cosθ,sinθ),向量
b
=(2
2
,-1),則|3
a
-
b
|的最大值是
 

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