(2010•成都模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),當x∈(-∞,-2)∪(0,+∞)時,f(x)>0,當x∈(-2,0)時,f(x)<0,且對任意x∈R,不等式f(x)≥(a-1)x-1恒成立.
(I)求函數(shù)f(x)的解析式;
(II)設函數(shù)F(x)=tf(x)-x-3,其中t≥0,求F(x)在x∈[-
32
,2]
時的最大值H(t);
(III)在(II)的條件下,若關于的函數(shù)y=log2[p-H(t)]的圖象與直線y=0無公共點,求實數(shù)的取值范圍.
分析:(I)由已知得a>0,且-2和0為方程ax2+bx+c=0的兩根,故可設f(x)=ax(x+2),利用f(x)≥(a-1)x-1恒成立,求出a的值.
(II)由題意,分情況討論F(x)在x∈[-
3
2
,2]
時的最大值H(t).當t=0時,F(xiàn)(x)是單調(diào)函數(shù),可求最大值;當t>0時,利用二次函數(shù)求最值的方法,分類討論;
(III)由題意,只需要[p-H(t)]>0,且p-H(t)=1無解,即[p-H(t)]max>0,且1不在[p-H(t)]值域內(nèi),故問題得解.
解答:解:(I)由已知得a>0,且-2和0為方程ax2+bx+c=0的兩根,∴可設f(x)=ax(x+2),又由f(x)≥(a-1)x-1恒成立得(a-1)2≤0,∴a=1,∴f(x)=x2+2x
(II)F(x)=tf(x)-x-3=tx2+(2t-1)x-3(t≥0),以下分情況討論F(x)在x∈[-
3
2
,2]
時的最大值H(t)
(1)當t=0時,F(xiàn)(x)=-x-3在x∈[-
3
2
,2]
時單調(diào)遞減,F(x)max=H(t)=-
3
2
;
(2)當t>0時,F(xiàn)(x)圖象的對稱軸方程為x0=-1+
1
2t
.∵
-
3
2
+2
2
=
1
4
,∴只需比較x0
1
4
的大小
①當x0
1
4
,即t≥
2
5
,F(xiàn)(x)max=8t-5;
②當x0
1
4
,即0<t<
2
5
時,F(x)max=-
3
4
t-
3
2
,
綜上可得H(t)=
-
3
4
t-
3
2
,0≤t<
2
5
8t-5,t≥
2
5

(III)由題意,只需要[p-H(t)]>0,且p-H(t)=1無解,即[p-H(t)]max>0,且1不在[p-H(t)]值域內(nèi)
由(II)可知H(t)的最小值為-
9
5
,即-H(t)的最大值為
9
5
,∴
p+
9
5
>0
1>p+
9
5
,∴-
9
5
<p<-
4
5
點評:本題考查代入法求函數(shù)的解析式,考查了二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題,考查恒成立問題的處理,屬中檔題.
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2-x
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