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12.已知函數(shù)f(x)=x1ax-lnx(a≠0).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當a=l時,求f(x)在區(qū)間[12,2]上的最大值和最小值(0.69<ln 2<0.70);
(3)求證lne2x1+xx

分析 (1)求出f(x)的定義域和導數(shù),并化簡,討論a<0,a>0,由導數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導數(shù)小于0,可得減區(qū)間;
(2)求得f(x)在[12,2]上的單調(diào)區(qū)間,可得最大值,再求端點處的函數(shù)值,可得最小值;
(3)由(2)的最大值,可得f(x)=1-1x-lnx≤0,運用不等式的性質(zhì),結合對數(shù)的運算性質(zhì),即可得證.

解答 解:(1)函數(shù)的定義域為(0,+∞),
∵f(x)=x1ax-lnx,
∴f′(x)=1×axax1ax21x=1axax2=-x1ax2
若a<0,又x>0,
∴x-1a>0,
則f′(x)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減;
若a>0,當x∈(0,1a)時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1a)上單調(diào)遞增;
當x∈(1a,+∞)時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1a,+∞)上單調(diào)遞減.
綜上,若a<0,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞);
若a>0,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1a),單調(diào)遞減區(qū)間為(1a,+∞).
(2)a=1時,f(x)=x1x-lnx=1-1x-lnx,
由(1)可知,f(x)=1-1x-lnx在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,
故在區(qū)間[12,1]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[12,2]上的最大值為f(1)=1-11-ln1=0;
而f(12)=1-2-ln12=-1+ln2,
f(2)=1-12-ln2=12-ln2,
f(2)-f(12)=12-ln2-(-1+ln2)=32-2ln2>1.5-2×0.7=0.1>0,
所以f(2)>f(12),故函數(shù)f(x)在區(qū)間[12,2]上的最小值為f(12)=-1+ln2.
證明:(3)由(2)可知,函數(shù)f(x)=1-1x-lnx在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,
在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,
故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的最大值為f(1)=0,即f(x)≤0.
故有1-1x-lnx≤0恒成立,
所以1-lnx≤1x,
故2-lnx≤1+1x,即為lne2-lnx≤1+xx,
即lne2x1+xx

點評 本題考查導數(shù)的運用:求單調(diào)區(qū)間和極值、最值,考查不等式的證明,注意運用函數(shù)的單調(diào)性,同時考查分類討論的思想方法,化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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