Question

在一次電視節(jié)目的搶答中，題型為判斷題，只有“對”和“錯”兩種結(jié)果，其中某明星判斷正確的概率為p，判斷錯誤的概率為q，若判斷正確則加1分，判斷錯誤則減1分，現(xiàn)記“該明星答完n題后總得分為S_n”．
（1）當(dāng)p=q=

1

2

時，記ξ=|S₃|，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望及方差；
（2）當(dāng)p=

1

3

，q=

2

3

時，求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知變量的可能取值是1，3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式寫出變量對應(yīng)的概率和分布列，做出期望和方差．
（2）本題要求的概率是答完8題后，回答正確的題數(shù)為5題，回答錯誤的題數(shù)是3題，包括若第一題和第二題回答正確，則其余6題可任意答對3題；和若第一題正確和第二題回答錯誤，第三題回答正確，則后5題可任意答對3題，兩種情況，寫出概率．

解答：解：（1）∵ξ=|S₃|的取值為1，3，又p=q=

1

2

；
∴P(ξ=1)=2

C

1 3

(

1

2

)•(

1

2

)2=

3

4

，
P(ξ=3)=(

1

2

)3+(

1

2

)3=

1

4

．
∴ξ的分布列為：

∴Eξ=1×

3

4

+3×

1

4

=

3

2

；
Dξ=

3

4

×(1-

3

2

)2+

1

4

×(3-

3

2

)2=

3

4

（2）當(dāng)S ₈=2時，即答完8題后，回答正確的題數(shù)為5題，回答錯誤的題數(shù)是3題，
又已知S_i≥0（i=1，2，3，4），若第一題和第二題回答正確，則其余6題可任意答對3題；
若第一題正確，第二題回答錯誤，第三題回答正確，則后5題可任意答對3題．
此時的概率為P=(

C

3 6

+

C

3 5

)•(

1

3

)5•(

2

3

)3=

30×8

38

=

80

37

(或

80

2187

)．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．