(2007•楊浦區(qū)二模)設(shè)過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點,且AB中點為M,則點M的軌跡方程是
y2=2(x-1)
y2=2(x-1)
分析:先根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標,進而設(shè)出過焦點弦的直線方程,與拋物線方程聯(lián)立消去y,根據(jù)韋達定理表示出x1+x2,進而根據(jù)直線方程求得y1+y2,進而求得焦點弦的中點的坐標的表達式,消去參數(shù)k,則焦點弦的中點軌跡方程可得.
解答:解:由題知拋物線焦點為(1,0)
設(shè)焦點弦方程為y=k(x-1)
代入拋物線方程得所以k2x2-(2k2+4)x+k2=0
由韋達定理:
x1+x2=
2k2+4
k2

所以中點M橫坐標:x=
x1+x2
2
=
k2+2
k2

代入直線方程,中點M縱坐標:
y=k(x-1)=
2
k
.即中點M為(
k2+2
k2
,
2
k

消參數(shù)k,得其方程為:y2=2x-2,
當(dāng)線段PQ的斜率存在時,線段PQ中點為焦點F(1,0),滿足此式,
故答案為:y2=2(x-1)
點評:本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì),考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
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