Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)為常數(shù)，數(shù)列滿足：，，．
（1）當時，求數(shù)列的通項公式；
（2）在（1）的條件下，證明對有：；
（3）若，且對，有，證明：．

Answer 1

（1），
（2）可以用裂項法求和進而證明也可以用數(shù)學歸納法證明
（3）可以用基本不等式證明也可以用導數(shù)證明，還可以利用數(shù)列的單調性證明

解析試題分析：（1）當時，，
兩邊取倒數(shù)，得，                                           ……2分
故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
，，．                                      ……4分
（2）證法1：由（1）知，故對
         ……6分
所以 
．                            ……9分
[證法2：①當n=1時，等式左邊，等式右邊，左邊=右邊，等式成立；                                                  ……5分
②假設當時等式成立，
即，
則當時

這就是說當時，等式成立，                                       ……8分
綜①②知對于有：
．                      ……9分】
（3）當時，
則，                              ……10分
∵，
∴                      ……11分

．                          ……13分
∵與不能同時成立，∴上式“=”不成立，
即對，．                                    ……14分
【證法二：當時，，
則                                       ……10分
又