Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1 3 x-1，x≥0 1 x ，x＜0

，
（1）畫(huà)出此函數(shù)的圖象；               
（2）若f（x）=-1，求x的值；
（3）若f（x）＜0，求x的取值范圍；     
（4）若f(x+1)≥-

1

2

，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分段畫(huà)出函數(shù)的圖象，可得到整個(gè)函數(shù)的圖象；
（2）分段構(gòu)造方程f（x）=-1，解答后，綜合分類討論結(jié)合可得f（x）=-1時(shí)x的值；
（3）分段構(gòu)造不等式f（x）＜0，解答后，綜合分類討論結(jié)合可得f（x）＜0時(shí)x的取值范圍；
（4）分段構(gòu)造不等式f(x+1)≥-

1

2

，解答后，綜合分類討論結(jié)合可得f(x+1)≥-

1

2

，時(shí)x的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=

1 3 x-1，x≥0 1 x ，x＜0

的圖象如下圖所示，

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=

1

3

x-1=-1，解得x=0
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=

1

x

=-1，解得x=-1
綜上所述，f（x）=-1時(shí)，x值為0或-1
（3）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=

1

3

x-1＜0，解得0≤x＜3
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=

1

x

＜0恒成立
綜上所述，f（x）＜0時(shí)，x＜3，
即x的取值范圍為{x|x＜3}，
（4）當(dāng)x+1≥0時(shí)，f（x+1）=

1

3

（x+1）-1≥-

1

2

，解得x≥

1

2

當(dāng)x+1＜0時(shí)，f（x+1）=

1

x+1

≥-

1

2

，解得x≤-3
綜上所述，f（x+1）≥-

1

2

時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍為{x|x≥

1

2

或x≤-3}，

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)的圖象，熟練掌握分段函數(shù)的解答方法是關(guān)鍵．