已知函數(shù)f(x)=
a+lnx
x
,且f(x)+g(x)=
(x+1)lnx
x
,
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)g(x)在[1,e]上的最小值為
3
2
,求實(shí)數(shù)a的值.
分析:(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為減函數(shù)?f(x)=
1-(a+lnx)
x
≤0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立?a≥1-lnx在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,?a≥[1-lnx]max,在區(qū)間[1,+∞)上.利用其單調(diào)性解出即可.
(2)g(x)=
(x+1)lnx
x
-
a+lnx
x
=lnx-
a
x
.(x>0).可得g(x)=
1
x
+
a
x2
=
x+a
x2
.對(duì)a分類討論:①當(dāng)a≥0時(shí),②當(dāng)a<0時(shí),當(dāng)-a<1時(shí);當(dāng)-a>e時(shí),即a<-e;當(dāng)1≤-a≤e時(shí),利用其單調(diào)性求出即可.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為減函數(shù),∴f(x)=
1-(a+lnx)
x
≤0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,
∴a≥1-lnx在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,
等價(jià)于a≥[1-lnx]max,在區(qū)間[1,+∞)上.
∵1-lnx在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴[1-lnx]max=1-ln1=1,∴a≥1.
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞);
(2)g(x)=
(x+1)lnx
x
-
a+lnx
x
=lnx-
a
x
.(x>0).
g(x)=
1
x
+
a
x2
=
x+a
x2

①當(dāng)a≥0時(shí),g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,在[1,e]上單調(diào)遞增,
∴g(x)min=g(1)=-a=
3
2
,解得a=-
3
2
,應(yīng)舍去.
②當(dāng)a<0時(shí),g(x)在(0,-a)上單調(diào)遞減,在(-a,+∞)上單調(diào)遞增.
當(dāng)-a<1時(shí),即-1<a<0,g(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,g(x)min=g(1)=-a=
3
2
,解得a=-
3
2
,應(yīng)舍去.
當(dāng)-a>e時(shí),即a<-e,g(x)在[1,e]上單調(diào)遞減,g(x)min=g(e)=1-
a
e
=
3
2
,解得a=-
e
2
,應(yīng)舍去.
當(dāng)1≤-a≤e時(shí),即-e≤a≤-1,g(x)在[1,-a]上單調(diào)遞減,在(-a,e)單調(diào)遞增,
∴g(x)min=g(-a)=ln(-a)+1=
3
2
,解得a=-
e

綜上所述,a=-
e
點(diǎn)評(píng):熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵.
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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34
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2x
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