Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時，恒成立，求整數(shù)k的最大值；
（Ⅲ）試證明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e^2n-3．

Answer 1

（Ⅰ）解：由題，…（2分）
故f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；…（3分）
（Ⅱ）解：當(dāng)x＞0時，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，
取，則，…（5分）
再取g（x）=x-1-ln（x+1），則，
故g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
而g（1）=-ln2＜0，g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-2ln2＞0，…（7分）
故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一實數(shù)根a∈（2，3），a-1-ln（a+1）=0，
故x∈（0，a）時，g（x）＜0；x∈（a，+∞）時，g（x）＞0，
故，故k_max=3…（8分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知：，∴
令，…（10分）
又ln[（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1））=
即：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n（n+1）]＞e^2n-3…（14分）
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)數(shù)的符號，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，即可求整數(shù)k的最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，從而令，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查不等式的證明，屬于中檔題．