Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=4，a₅+a₇=14，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n=

1

an2-1

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程，解出首項(xiàng)和公差，從而寫出通項(xiàng)公式和求和公式；
（Ⅱ）根據(jù){a_n}的通項(xiàng)，化簡(jiǎn)b_n，并拆成兩項(xiàng)的差，注意前面乘一個(gè)系數(shù)，然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，應(yīng)注意消去哪些項(xiàng)，保留哪些項(xiàng)，可以多寫幾項(xiàng)，找出規(guī)律．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
∵a₃=4，a₅+a₇=14，
∴a₁+2d=4，2a₁+10d=14，
∴a₁=2，d=1，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
S_n=n×2+

1

2

n（n-1）×1=

n2+3n

2

，
即a_n=n+1，S_n=

n2+3n

2

；
（Ⅱ）∵a_n=n+1，∴a_n²-1=（n+1）²-1=n（n+2），
∴b_n=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+…+b_n-2+b_n-1+b_n
=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+

1

5

-

1

7

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3n2+5n

4(n2+3n+2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列求和的重要方法：裂項(xiàng)相消求和，應(yīng)注意求和時(shí)哪些項(xiàng)消去，哪些項(xiàng)保留．