Question

若直線y=ax與函數(shù)y=lnx的圖象相切于點(diǎn)P，則切點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)切點(diǎn)在曲線上，可以設(shè)切點(diǎn)P（m，lnm），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以得到切線的斜率a=y′|_y=m，再由切點(diǎn)在切線上，可以得到lnm=am，解兩個(gè)方程，即可得到m的值，從而得到切點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：根據(jù)切點(diǎn)P在曲線上，
∴設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，lnm），
∵函數(shù)y=lnx，
∴y′=

1

x

，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以得到，切線的斜率a=y′|_y=m=

1

m

，①
又切點(diǎn)P（m，lnm）在切線上，
∴l(xiāng)nm=am，②
由①②，解得m=e，
∴l(xiāng)nm=lne=1，
∴切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（e，1）．
故答案為：（e，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時(shí)要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．屬于中檔題．