Question

1．如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC（端點(diǎn)除外）上一動點(diǎn)．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ADF⊥平面ABC．在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足．設(shè)AK=t，則t的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{2}{5}$）
• B． （$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{3}$）
• C． （$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 此題的破解可采用二個(gè)極端位置法，即對于F位于DC的中點(diǎn)時(shí)與隨著F點(diǎn)到C點(diǎn)時(shí)，分別求出此兩個(gè)位置的t值即可得到所求的答案

解答 解：如圖，過D作DG⊥AF，垂足為G，連接GK，
∵平面AFD⊥平面ABC，又DK⊥AB，
∴AB⊥平面DKG，
∴AB⊥GK．
容易得到，當(dāng)F接近E點(diǎn)時(shí)，K接近AB的中點(diǎn)，
∵長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為CD的中點(diǎn)，
∴計(jì)算可得：AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，DK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，KG=$\frac{1}{2}$，
∴t=AK=$\frac{1}{2}$
當(dāng)F接近C點(diǎn)時(shí)，可得三角形ADG和三角形ADC相似．
∴$\frac{AG}{AD}=\frac{DG}{DC}=\frac{DA}{AC}$，
∴$\frac{AG}{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，可解得AG=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
可得三角形AKG和三角形ABC相似．
∴$\frac{AG}{AC}$=$\frac{AK}{AB}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}}=\frac{t}{2}$，解得t=$\frac{2}{5}$，
∴t的取值范圍是（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）．
故選：C．

點(diǎn)評 考查空間圖形的想象能力，及根據(jù)相關(guān)的定理對圖形中的位置關(guān)系進(jìn)行精準(zhǔn)判斷的能力．