Question

已知拋物線C：y²=2px的焦點為F，且過點（1，2），過F的直線l交拋物線C于A，B兩點，直線AO，BO分別與直線m：x=-2相交于M，N兩點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）證明△ABO與△MNO的面積之比為定值．

Answer 1

考點：拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線過定點的坐標，求得P，則拋物線方程可求；
（Ⅱ）根據(jù)直線l與x軸是否垂直，分兩種情況求解△ABO與△MNO的面積之比，驗證即可．

解答： （Ⅰ）解：由拋物線C：y²=2px過點（1，2），可知
4=2p，p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（Ⅱ）證明：當直線l垂直于x軸時，△ABO與△MNO相似，
∴

S△ABO

SOMN

=(

|OF|

2

)2=

1

4

；
當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線AB方程為y=k（x-1），
設(shè)M（-2，y_M），N（-2，y_N），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=k(x-1) y2=4x

，整理得：k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
∵∠AOB=∠MON，
∴x₁•x₂=1．∴

S△ABO

S△MNO

=

1 2 AO•BO•sin∠AOB

1 2 MO•NO•sin∠MON

=

AO

MO

•

BO

NO

=

x1

2

•

x2

2

=

1

4

．
綜上，

S△ABO

S△MNO

=

1

4

．
∴△ABO與△MNO的面積之比為定值．

點評：本題考查拋物線的標準方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．