Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（4a+1）x-8a+4，x＜1}\\{lo{g}_{a}x，x≥1}\end{array}\right.$，若a=$\frac{1}{2}$，則函數(shù)f（x）的值域為R；若函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 由題意利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4a+1}{2}≥1}\\{0＜a＜1}\\{1-（4a+1）-8a+4≥0}\end{array}\right.$，由此求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：若a=$\frac{1}{2}$，當(dāng)x＜1時，函數(shù)f（x）=x²-3x=${（x-\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{9}{4}$∈[-2，+∞）；
當(dāng)x≥1時，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}x$≤0，故函數(shù)f（x）的值域為[-2，+∞）∪（-∞，0]=R．
若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（4a+1）x-8a+4，x＜1}\\{lo{g}_{a}x，x≥1}\end{array}\right.$在R上單調(diào)遞減，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4a+1}{2}≥1}\\{0＜a＜1}\\{1-（4a+1）-8a+4≥0}\end{array}\right.$，
求得$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{3}$，
故答案為：R；[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．