Question

已知定點(diǎn)與分別在軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足：,動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（i）試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系；

（ii）探究是否為定值？并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

（1）；（2）（i）相切；（ii）為定值，且定值為0.證明過(guò)程見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）假設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，由，，經(jīng)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，易得P的軌跡方程. （2）（i）A，B，兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)距離相等，又是方程的準(zhǔn)線，結(jié)合圖形，易得直線與圓相切. （ii）假設(shè)過(guò)F點(diǎn)的直線方程AB為 與拋物線方程聯(lián)立，求得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo).寫(xiě)出OA，OB所在直線方程，求出與的交點(diǎn)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可知=0

試題解析：

【解析】
（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則 1分

又，由得  2分

即亦即 3分

代入即得：動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為： 4分

（2）由（1）知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線,設(shè)直線的方程為；點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.

(i)設(shè)兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離分別為,則,

設(shè)的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為， 5分

則 7分

直線與以為直徑的圓相切. 8分

（注：直接運(yùn)算得到正確結(jié)果同樣給分）

(ii)由得， 10分

的方程為，即由得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為， 11分

于是 12分

因此為定值，且定值為0.    13分

考點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì),直線與拋物線的關(guān)系，向量的坐標(biāo)運(yùn)算.