Question

已知函數(shù)f（x）=

x+2 ， x＜-1 x2 ， -1≤x≤2 x+ 4 x  ，  x≥2

（1）在直角坐標(biāo)系中畫出f（x）的圖象；
（2）若f（x）=5，求x值；
（3）用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的分段情況，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f（x）的圖象；
（2）由函數(shù)y=f（x）的圖象知，x≥2時，y=f（x）=5，求出x的值；
（3）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，步驟是取值，作差，判正負(fù)，下結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)x＜-1時，y=f（x）=x+2，
當(dāng)-1≤x≤2時，y=f（x）=x²，
當(dāng)x≥2時，y=f（x）=x+

4

x

，
∴畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，如圖；
（2）由函數(shù)y=f（x）的圖象知，
x≥2時，y=f（x）=x+

4

x

=5，
解得x=4；
（3）證明：任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂；
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

4

x1

）-（x₂+

4

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
∵2≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是區(qū)間[2，+∞）上的增函數(shù)．

點評：本題考查了分段函數(shù)的解析式以及圖象的應(yīng)用問題，也考查了用定義來證明函數(shù)的單調(diào)性問題，是綜合性題目．