表面積為60π的球面上有四點(diǎn)S、A、B、C，且△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為
3
，若平面SAB⊥平面ABC，則棱錐S-ABC體積的最大值為
 
．
考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離
分析：棱錐S-ABC的底面積為定值，欲使棱錐S-ABC體積體積最大，應(yīng)有S到平面ABC的距離取最大值，由此能求出棱錐S-ABC體積的最大值．
解答： 解：∵表面積為60π的球，∴球的半徑為
15
，
設(shè)△ABC的中心為D，則OD=
3
，所以DA=2
3
，則AB=6
棱錐S-ABC的底面積S=
3
4
×62=9
3
為定值，
欲使其體積最大，應(yīng)有S到平面ABC的距離取最大值，
又平面SAB⊥平面ABC，
∴S在平面ABC上的射影落在直線(xiàn)AB上，而SO=
15
，點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離為
3
，
則S到平面ABC的距離的最大值為3
3
，
∴V=
1
3
×9
3
×3
3
=27．
故答案為：27．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查棱錐的體積的最大值的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)（-2
5
，0）為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿(mǎn)足|OP|=|OF|且|PF|=4，則橢圓C的方程為（　�。�
A、
x2
25
+
y2
5
=1
B、
x2
36
+
y2
16
=1
C、
x2
30
+
y2
10
=1
D、
x2
45
+
y2
25
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖1，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥DB，其中三棱錐P-BCD的三視圖如圖2所示，且sin∠BDC=
3
5


（I）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）若AD=6，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

計(jì)算：
∫
4
1
（2x-
1
x
）dx=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=
ex-1
aex+1
是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

有限數(shù)列A={a1，a2，…，an}的前n項(xiàng)和為Sn，定義
S1+S2+…+Sn
n
為A的“凱森和”，若數(shù)列{a1，a2，…，a99}的“凱森和”為1000，則數(shù)列{1，a1，a2，…，a99}的“凱森和”為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為2，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，且該四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都是3．
（1）求證：PA∥平面BDE；
（2）求證：平面PAC⊥平面BDE；
（3）求直線(xiàn)BE與平面PAC所成的角的余弦值；
（4）求點(diǎn)A到平面BDE的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某股民購(gòu)買(mǎi)一公司股票10萬(wàn)元，在連續(xù)十個(gè)交易日內(nèi)，前5個(gè)交易日，平均每天上漲5%，后5個(gè)交易日內(nèi)，平均每天下跌4.9%，則股民的股票盈虧情況（不計(jì)其他成本，精確到元）（　�。�
A、賺723元
B、賺145元
C、虧145元
D、虧723元

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）求證：tan2x+
1
tan2x
=
2(3+cos4x)
1-cos4x

（2）若tan2α=2tan2β+1，求證：sin2β=2sin2α-1．

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同步練習(xí)冊(cè)答案