Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ADC=60°，AD=AM=1，PC=2，M為PD的中點(diǎn)．
（1）證明PB∥平面ACM；
（2）求直線AM與直線PC所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，由已知得OM∥PB，由此能證明PB∥平面ACM．
（2）取CD中點(diǎn)N，連結(jié)MN，∠AMN是直線AM與直線PC所成的角，由此利用余弦定理能求出線AM與直線PC．

解答： （1）證明：連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，
∵底面ABCD為菱形，∴O是BD中點(diǎn)，
連結(jié)OM，∵M(jìn)為PD的中點(diǎn)，
∴OM∥PB，
∵OM?平面ACM，PB不包含于平面ACM，
∴PB∥平面ACM．
（2）解：取CD中點(diǎn)N，連結(jié)MN，
∵M(jìn)是PD中點(diǎn)，∴MN∥PC，
∴∠AMN是直線AM與直線PC所成的角，
∵AM=AD=1，MN=

1

2

PC=1，
∠ADC=60°，AD=AM=1，
∴AN=

1+ 1 4 -2× 1 2 ×1×cos60°

=

3

2

，
∴cos∠AMN=

1+1- 3 4

2×1×1

=

5

8

，
∴直線AM與直線PC所成角的余弦值為

5

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與直線所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．