Question

已知兩點F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），曲線C上的動點P滿足|PF1|+|PF2|=

2

|F1F2|．
（1）求曲線C的方程；
（2）曲線C上是否存在點M，使得

MF1

•

MF2

=3？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：|MF₁|+|MF₂|=

2

|F₁F₂|=4

2

＞|F₁F₂|=4，所以曲線C是以F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）為焦點，長軸長為4

2

的橢圓，進而求出橢圓的標準方程．
（2）假設橢圓C存在點M滿足題意，設M（x，y），可得：

MF1

•

MF2

=x2+y2-4=3，再利用點在橢圓上所以有：x²=8-2y²，進而根據兩個方程求出點的坐標得到答案．

解答：解：（1）因為|F₁F₂|=4，|MF₁|+|MF₂|=

2

|F₁F₂|=4

2

＞|F₁F₂|=4，
所以曲線C是以F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）為焦點，長軸長為4

2

的橢圓，
所以a=2

2

，c=2，所以b²=4，
曲線C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）假設橢圓C存在點M，使得

MF1

•

MF2

=3．
證明：設M（x，y），則

MF1

=(-2-x，-y)，

MF2

=(2-x，-y)，
所以

MF1

•

MF2

=x2+y2-4．
因為

x2

8

+

y2

4

=1，所以x²=8-2y²，
所以

MF1

•

MF2

=4-y2，令4-y²=3，解得：y=±1，所以x=±

6

．
所以滿足題意的點共有四個：M1(

6

，1)，M2(

6

，-1)，M3(-

6

，1)，M4(-

6

，-1)．

點評：本題主要考查了橢圓的定義與橢圓的簡單性質，以及向量的數量積．考查了學生分析問題和解決問題的能力，解題時要認真審題，仔細解題．