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5.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1=3,a2是方程x2-5x-6=0的根.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=2n1an1an+11,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.

分析 (1)由于a2是方程x2-5x-6=0的根,a2>0,a2=6.再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(2)cn=2n13×2n113×2n1=1313×2n1113×2n1,利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出.

解答 解:(1)由方程x2-5x-6=0,解得x=6,-1.
∵a2是方程x2-5x-6=0的根,a2>0,a2=6.
∴等比數(shù)列{an}的公比q=a2a1=63=2,
∴an=3×2n-1
(2)cn=2n1an1an+11=2n13×2n113×2n1=1313×2n1113×2n1,
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和=13[13113×21+13×2113×221+…+13×2n1113×2n1]
=131213×2n1
=16-19×2n3

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、一元二次方程的解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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