已知一直線l經過原點且與曲線y=x3-3x2+2x相切，試求直線l的方程．
【答案】分析：設切點為（x，y），則y=x3-3x2+2x，由于直線l經過原點，故等式的兩邊同除以x即得切線的斜率，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在點x處的切線斜率，便可建立關于x的方程．在兩邊同除以x時，要注意對x是否為0進行討論．
解答：解：設直線l：y=kx．∵y′=3x2-6x+2，∴y′|x=0=2，
又∵直線與曲線均過原點，于是直線y=kx與曲線y=x3-3x2+2相切于原點時，k=2．
若直線與曲線切于點（x，y）（x≠0），則k=，∵y=x3-3x2+2x，
∴=x2-3x+2，
又∵k=y′|=3x2-6x+2，
∴x2-3x+2=3x2-6x+2，∴2x2-3x=0，
∵x≠0，∴x=，∴k=x2-3x+2=-，
故直線l的方程為y=2x或y=-x．
點評：本題主要考查了導數(shù)的運算，以及直線方程和切線問題，屬于基礎題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知一直線l經過原點且與曲線y=x3-3x2+2x相切，試求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過原點，且兩條漸近線與以點A(0，
2
)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線C的一個焦點與點A關于直線y=x對稱．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A，B兩點，另一直線l經過M（-2，0）和線段AB的中點，求直線l在y軸上截距b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點A(0，
2
)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線y=x對稱．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A，B兩點，另一直線l經過M（-2，0）及AB的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍；
（Ⅲ）若Q是雙曲線C上的任一點，F(xiàn)1F2為雙曲線C的左，右兩個焦點，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點A(0，
2
)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線y=x對稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若Q是雙曲線C上的任一點，F(xiàn)1、F2為雙曲線C的左、右兩個焦點，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程；
（3）設直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線L經過M（-2，0）及AB的中點，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍．

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