已知f(θ)=sin2θ+2mcosθ-2m-2,θ∈R.
(1)對任意m∈R,求f(θ)的最大值g(m);
(2)若f(θ)<0對任意θ∈R恒成立,求m的取值范圍.
解:(1)f(θ)=sin
2θ+2mcosθ-2m-2=1-cos
2θ+2mcosθ-2m-2=-(cosθ-m)
2+m
2-2m-1,
令t=cosθ,則t∈[-1,1],h(t)=-(t-m)
2+m
2-2m-1,
①若m<-1,則g(m)=h(-1)=-(-1-m)
2+m
2-2m-1=-4m-2;
②若-1≤m≤1,則g(m)=h(m)=m
2-2m-1;
③若m>1,則g(m)=h(1)=-(1-m)
2+m
2-2m-1=-2;
綜上所述,g(m)=
.
(2)f(θ)<0對任意θ∈R恒成立等價于g(m)<0,
由(1)知,當(dāng)m<-1時,g(m)=-4m-2<0,解得m>-
,此時無解;
當(dāng)-1≤m≤1時,g(m)=m
2-2m-1<0,解得1-
<m<1+
,所以1-
<m≤1;
當(dāng)m>1時,g(m)=-2<0成立;
綜上,m的取值范圍為:(1-
,+∞).
分析:(1)f(θ)=-(cosθ-m)
2+m
2-2m-1,令t=cosθ,則t∈[-1,1],h(t)=-(t-m)
2+m
2-2m-1,按①m<-1,②-1≤m≤1,③m>1三種情況進(jìn)行討論即可求得g(m);
(2)f(θ)<0對任意θ∈R恒成立等價于g(m)<0,借助(1)問結(jié)論即可求得;
點評:本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及恒成立問題,考查分類討論思想,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力.