Question

已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*）是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，并且a₃=5，a₄•（a₁+a₂）=28，bn=pan+1（p為非零實常數(shù)）
（1）求數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的通項
（2）求b₁+b₂+…+b_n（n∈N*）

Answer 1

分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，利用等差數(shù)列通項公式列出關(guān)于a₁，d 的方程組，求出a₁，d后，數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的通項可求．
（2）由（1）得出bn=p2n+1（p≠0），數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，可以按照等比數(shù)列求和公式計算，要注意對公比取值情形分類討論．

解答：解（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由于a₃=5，a₄•（a₁+a₂）=28，所以

a1+2d=5 (a1+3d)•(2a1+d)=28

  

(a1＞0)

∴a₁=1，d=2．
∴a_n=2n-1．
（2）由（1）得出bn=p2n+1，（p≠0），數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且公比為p²，
當(dāng)p=1時；b_n=1，b₁+b₂+…+b_n=n，
當(dāng)p=-1時；b_n=-1，b₁+b₂+…+b_n=-n，
當(dāng)p≠±1時；b1+b2+…+bn=p3+p5+…+p2n+1=

p3(1-p2n)

1-p2

．
綜上所述，b1+b2+…+bn=

-n，p=-1 n，p=1 p3(1-p2n) 1-p2 ，p≠±1

點評：本題考查了等差數(shù)列通項公式求解，等比數(shù)列求和．在等比數(shù)列求和時，要注意公比是否為1，含有字母時一般進(jìn)行分類討論求解，否則易錯．