Question

若a=

∫

π 0

（sint+cost）dt，則（x+

1

αx

）⁶的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（　　）

• A．-

  1

  8

• B．

  1

  8

• C．-

  5

  2

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：根據(jù)題意，由定積分公式可得a=

∫

π 0

（sint+cost）dt=（-cosx+sinx）|₀^π，計(jì)算可得a的值，則有（x+

1

αx

）⁶=（x+

1

2x

）⁶，由二項(xiàng)式定理可得其展開(kāi)式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，可得r的值，將r的值代入通項(xiàng)，計(jì)算可得其展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)，即可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，a=

∫

π 0

（sint+cost）dt=（-cosx+sinx）|₀^π=2，
則（x+

1

αx

）⁶=（x+

1

2x

）⁶，其展開(kāi)式的通項(xiàng)為T_r+1=C₆^rx^6-r•（

1

2x

）^r=C₆^r（

1

2

）^rx^6-2r，
令6-2r=0，可得r=3，
此時(shí)T₄=C₆³（

1

2

）³=

5

2

；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是由定積分公式求出a的值．