【解析圖片】已知數(shù)列{an}與圓C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圓C2:x2+y2+2x+2y-2=0,若圓C1與圓C2交于A,B兩點(diǎn)且這兩點(diǎn)平分圓C2的周長.
(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)若a1=-3,則當(dāng)圓C1的半徑最小時(shí),求出圓C1的方程.
【答案】分析:本題綜合考查等差數(shù)列的概念和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的證明證明、直線和園、圓的方程等相關(guān)知識.
(1)根據(jù)兩圓的交點(diǎn)將圓C2的周長平分可知圓C2的圓心在交點(diǎn)A、B的連線上,由此可得|C1C2|2=r12-r22,將二圓化為標(biāo)注方程代入即得an+1和an的遞推關(guān)系,由此可證數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)在(1)的基礎(chǔ)上易得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,以此表示圓C1的半徑是關(guān)于n的二次方程,根據(jù)其最小值時(shí)的n值,可以得到圓C1的方程.
解答:解:(1)由已知,圓C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0的圓心為
(an,-an+1),半徑為,(2分)
圓C2:x2+y2+2x+2y-2=0的圓心為(-1,-1),
半徑為r2=2,(3分)
由題意:|C1C2|2+r22=r12,(5分)
則(an+1)2+(an=1-1)2+4=an2+an+12+1,
,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列;(7分)
(2)∵a1=-3,則,(9分)

=,(12分)
∵n∈N+,則當(dāng)n=2時(shí),r1可取得最小值,(13分)
此時(shí),圓C1的方程是:x2+y2+x+4y-1=0.(14分)
點(diǎn)評:本題橫跨解析幾何、數(shù)列兩大數(shù)學(xué)內(nèi)容,涉及知識點(diǎn)眾多,是規(guī)模較大的綜合性問題;
要正確的解決問題,必須在分析清楚題意的基礎(chǔ)上理清思路,針對性的切入解題;
本題結(jié)合圖形容易理清思路,注意數(shù)形結(jié)合在解題中不可替代的作用.
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