Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-x-alnx，a∈R．
（1）若f（x）在區(qū)間[

1

3

，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）試討論f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用f（x）在區(qū)間[

1

4

，+∞)上單調(diào)遞增，f′（x）≥0恒成立，得到a≤x²-x，求出二次函數(shù)在[

1

3

，+∞)的最小值，即可得到a的取值范圍．
（2）求出導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²-x-a，考察函數(shù)g（x）=x²-x-a，計算△=1+4a，1⁰．當(dāng)△＞0分兩種情況討論：①當(dāng)a≥0時：求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間．②當(dāng)-

1

4

＜a＜0時：求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
2⁰．當(dāng)△≤0即a≤-

1

4

時，g（x）≥0對任意的x∈（0，+∞）恒成立，得到當(dāng)a≤-

1

4

時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）．

解答： （本題14分）
解：（1）因為f（x）在區(qū)間[

1

4

，+∞)上單調(diào)遞增，則當(dāng)x∈[

1

3

，+∞)，f′（x）≥0恒成立…（2分）
由f′(x)=x-1-

a

x

≥0得：a≤x²-x
因為二次函數(shù)y=a≤x2-x=(x-

1

2

)2-

1

4

在[

1

3

，+∞)的最小值為-

1

4

，…（4分）
從而有a≤-

1

4

，
所以，當(dāng)a≤-

1

4

時，f（x）在[

1

3

，+∞)上單調(diào)遞減．…（5分）
（2）f′(x)=x-1-

a

x

=

x2-x-a

x

，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²-x-a，則f′(x)=

g(x)

x

，
∵函數(shù)f(x)=

1

2

x2-x-alnx的定義域為（0，+∞），
∴g（x）與f'（x）同正負…（6分）
考察函數(shù)g（x）=x²-x-a，計算△=1+4a，
下面對△進行討論1⁰．當(dāng)△＞0即a＞-

1

4

時，
分兩種情況討論：
①當(dāng)a≥0時：
當(dāng)x∈(

1+ 1+4a

2

，+∞)時，g（x）＞0，即f'（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(

1+ 1+4a

2

，+∞)；
且當(dāng)x∈(0，

1+ 1+4a

2

)時，g（x）＜0，即f'（x）＜0，
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(0，

1+ 1+4a

2

)…（8分）
②當(dāng)-

1

4

＜a＜0時：
當(dāng)x∈(0，

1- 1+4a

2

)和x∈(

1+ 1+4a

2

，+∞)時，g（x）＞0，即f'（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(0，

1- 1+4a

2

)和(

1+ 1+4a

2

，+∞)；…（9分）
當(dāng)x∈(

1- 1+4a

2

，

1+ 1+4a

2

)時，g（x）＜0，即f'（x）＜0，
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(

1- 1+4a

2

，

1+ 1+4a

2

)…（10分）
2⁰．當(dāng)△≤0即a≤-

1

4

時，g（x）≥0對任意的x∈（0，+∞）恒成立，
所以f'（x）≥0對任意的x∈（0，+∞）恒成立，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）…（12分）
綜上，當(dāng)a≥0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(

1+ 1+4a

2

，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，

1+ 1+4a

2

)
當(dāng)-

1

4

＜a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(0，

1- 1+4a

2

)和(

1+ 1+4a

2

，+∞)，
單調(diào)減區(qū)間為(

1- 1+4a

2

，

1+ 1+4a

2

)
當(dāng)a≤-

1

4

時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）…（14分）

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，分類討論以及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．