Question

已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其中a₃=1，a₄，a₅+1，a₆成等差數(shù)列，數(shù)列的前n項和S_n=（n-1）2^n-2+1（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，當n≥3時，求證：．

Answer 1

解：（1）設{a_n}的公比為q，
∵a₃=1，
∴a₄=q，a₅=q²，a₆=q³．
∵a₄，a₅+1，a₆成等差數(shù)列，
∴2（q²+1）=q+q³，
解得q=2． （2分）
∴a_n=a₃q^n-3=2^n-3． （3分）
當n=1時，，
∴．（4分）
當n≥2時，，
∴（6分）
（2）用數(shù)學歸納法證明如下：
①當n=3時，左邊=．
右邊=
∵2⁵＞3³，
∴，
∴，
即，
∴左邊＞右邊，
∴不等式成立．（8分）
②假設n=k（k≥3）時不等式成立．
即，
則當n=k+1時，，
要證n=k+1時不等式也成立，
只需證
即證：．（10分）
下面先證
∵，所以有：

=
又k≥3，
∴
∴當n=k+1時不等式也成立．
綜合①②可知：當n≥3時，．（14分）．
分析：（1）設{a_n}的公比為q，由a₃=1，知a₄=q，a₅=q²，a₆=q³．由a₄，a₅+1，a₆成等差數(shù)列，能求出數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式．
（2）用數(shù)學歸納法證明如下：①當n=3時，左邊=．右邊=．由2⁵＞3³，知不等式成立．②假設n=k（k≥3）時不等式成立．即．那么當n=k+1時，，要證n=k+1時不等式也成立，只需證：，由此能證明當n=k+1時不等式也成立．綜合①②可知：當n≥3時，．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意數(shù)學歸納法的合理運用．