Question

18．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=2，對(duì)?∈N^*，a_n≠0且a_n≠1，且b_n=（a_n+1）（a_n-2），若過(guò)點(diǎn)A（1，-2），B（a_n，b_n）的直線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{2}{{a}_{n+1}}$，則$\frac{{a}_{2}^{2}}{_{2}}$+$\frac{{a}_{3}^{2}}{_{3}}$+$\frac{{a}_{4}^{2}}{_{4}}$+…+$\frac{{a}_{8}^{2}}{_{8}}$=-$\frac{539}{540}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)兩點(diǎn)式方程求出直線方程，再求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到$\frac{2}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}-2}{_{n}+2}$+1，和b_n=（a_n+1）（a_n-2），求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
求出a_n和b_n的通項(xiàng)公式，再求出$\frac{{a}_{n}^{2}}{_{n}}$=-$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+2}$），代值計(jì)算即可．

解答 解：過(guò)點(diǎn)A（1，-2），B（a_n，b_n）的直線方程為$\frac{y+2}{b{\;}_{n}+2}$=$\frac{x-1}{{a}_{n}-1}$，當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{2{a}_{n}-2}{_{n}+2}$+1，
∴$\frac{2}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}-2}{_{n}+2}$+1，
∵b_n=（a_n+1）（a_n-2）=a_n²-a_n-2，
∴$\frac{2}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2（{a}_{n}-1）}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$+1=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∵a₁=2，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$n，
∴a_n=$\frac{2}{n}$，
∴b_n=$\frac{4}{{n}^{2}}$-$\frac{2}{n}$-2，
∴$\frac{{a}_{n}^{2}}{_{n}}$=$\frac{2}{2-n-{n}^{2}}$=-$\frac{2}{（n+2）（n-1）}$=-$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴$\frac{{a}_{2}^{2}}{_{2}}$+$\frac{{a}_{3}^{2}}{_{3}}$+$\frac{{a}_{4}^{2}}{_{4}}$+…+$\frac{{a}_{8}^{2}}{_{8}}$=-$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$）=-$\frac{539}{540}$，
故答案為：-$\frac{539}{540}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線方程，通項(xiàng)公式的求法，裂項(xiàng)求和，培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．