【題目】設函數(為自然對數的底數),, .
(1)若是的極值點,且直線分別與函數和的圖象交于,求兩點間的最短距離;
(2)若時,函數的圖象恒在的圖象上方,求實數的取值范圍.
【答案】(1)1(2)
【解析】試題分析:
(1)結合題意可得|PQ|=et+sint2t.令h(x)=ex+sinx2x,結合函數的性質可得兩點間的最短距離是1;
(2)構造函數,結合題意可得實數的取值范圍是.
試題解析:
(1)因為F(x)=ex+sinxax,所以F′(x)=ex+cosxa,
因為x=0是F(x)的極值點,所以F′(0)=1+1a=0,a=2.
又當a=2時,若x<0,F′(x)=ex+cosxa<1+12=0,
所以F′(x)在(0,+∞)上為增函數,所以F′(x)>F′(0)=1+12=0,所以x=0是F(x)的極小值點,
所以a=2符合題意,所以|PQ|=et+sint2t.令h(x)=ex+sinx2x,即h′(x)=ex+cosx2,
因為h′′(x)=exsinx,當x>0時,ex>1,1sinx1,
所以h′′(x)=exsinx>0,所以h′(x)=ex+cosx2在(0,+∞)上遞增,
所以h′(x)=ex+cosx2>h′(0)=0,∴x∈[0,+∞)時,h(x)的最小值為h(0)=1,所以|PQ|min=1.
(2)令,
則,
,
因為當時恒成立,
所以函數在上單調遞增,∴當時恒成立;
故函數在上單調遞增,所以在時恒成立.
當時, , 在單調遞增,即.
故時恒成立.
當時,因為在單調遞增,所以總存在,使在區(qū)間上,導致在區(qū)間上單調遞減,而,所以當時, ,這與對恒成立矛盾,所以不符合題意,故符合條件的的取值范圍是.
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【題目】已知集合A={x|(x+3)(x﹣6)≥0},B={x| <0}.
(1)求A∩RB;
(2)已知E={x|2a<x<a+1}(a∈R),若EB,求實數a的取值范圍.
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【題目】如圖的程序框圖表示求式子1×3×7×15×31×63的值,則判斷框內可以填的條件為( )
A.i≤31?
B.i≤63?
C.i≥63?
D.i≤127?
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【題目】若函數f(x)=kax﹣a﹣x(a>0且a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函數又是增函數,則函數g(x)=loga(x+k)的圖象是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,已知拋物線的焦點在拋物線上,點是拋物線上的動點.
(Ⅰ)求拋物線的方程及其準線方程;
(Ⅱ)過點作拋物線的兩條切線, 、分別為兩個切點,求面積的最小值.
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【題目】已知集合A={x| ≤( )x﹣1≤9},集合B={x|log2x<3},集合C={x|x2﹣(2a+1)x+a2+a≤0},U=R
(1)求集合A∩B,(UB)∪A;
(2)若A∪C=A,求實數a的取值范圍.
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【題目】已知函數f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1﹣x)(a>0且a≠1).
(1)求f(x)+g(x)的定義域;
(2)判斷函數f(x)+g(x)的奇偶性,并證明.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在直角坐標系中,直線的參數方程為,( 為參數),在以坐標原點為極點, 軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線的極坐標方程為
(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)已知點,若點是直線上一動點,過點作曲線的兩條切線,切點分別為,求四邊形面積的最小值.
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