已知曲線C的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤＜).

(Ⅰ)把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，并說明曲線C的形狀；

(Ⅱ)若直線經(jīng)過點(1,0)，求直線被曲線C截得的線段AB的長.

 

【答案】

（Ⅰ），曲線C是頂點為，焦點為的拋物線；(Ⅱ)8.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)極坐標和直角坐標的關系得直角坐標方程；(Ⅱ)方法1：由已知條件求直線的參數(shù)方程，代入曲線C的方程，得關于參數(shù)的二次方程，可利用求得長度；方法2：先把直線的方程化為普通方程，再與曲線C聯(lián)立求交點坐標，既得所求.

試題解析：（Ⅰ）方程兩邊同乘，得，把代入上式，得

，這就是曲線C的直角坐標方程，曲線C是頂點為，焦點為的拋物線.     3分

（Ⅱ）方法1：直線（為參數(shù)，）經(jīng)過點，若直線又經(jīng)過點，則

，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線C的方程

，得整理得. ①

設直線與曲線C的交點A、B對應的參數(shù)分別為，則是方程①的兩個實根，于是，直線被曲線C截得的線段AB的長為.       7分

方法2：設直線的普通方程為，若直線經(jīng)過點，則，即，

的方程為，解方程組，得或，即A、B兩點的坐標分別為，于是直線被曲線C截得的線段AB的長為

.         7分

考點：1、極坐標與直角坐標的互化；2、參數(shù)方程；3、直線被曲線所截線段的求法.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程是
x=t
y=
3
t
（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρsinθ-3=0．
（1）求直線l的極坐標方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C的極坐標方程為ρ=6cosθ，把曲線C的極坐標方程轉化為直角坐標方程為
x2+y2=6x
x2+y2=6x
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）已知曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ，以極點為原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=t
y=
3
t+1
（t為參數(shù)），求直線l被曲線C截得的線段長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•黃州區(qū)模擬）（考生注意：本題為選做題，請在下列兩題中任選一題作答，如果都做，則按所做第（1）題計分）
（1）（《坐標系與參數(shù)方程選講》選做題）．已知曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ，則曲線C上的點到直線
x=-1+t
y=2t
（t為參數(shù)）距離的最大值為
1+
4
5
5
1+
4
5
5
．

（2）（《幾何證明選講》選做題）．已知點C在圓O的直徑BE的延長線上，直線CA與圓O相切于點A，∠ACB的平分線分別交AB，AE于點D，F(xiàn)，則∠ADF
45°
45°
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選修4-4　 坐標系與參數(shù)方程
已知曲線C的極坐標方程為：ρ2-4
2
ρcos(θ-
π
4
)+6=0，
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設（x，y）是曲線C上任意一點，求
y
x
的最大、最小值．

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