Question

9．在三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長為3的正三角形，側棱SA⊥底面ABC，若三棱錐的外接球的體積為36π，則該三棱錐的體積為（　�。�

• A． $9\sqrt{2}$
• B． $\frac{{27\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$
• D． $27\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出三棱錐的外接球的半徑R=3，過A作AE⊥BC，交BC于E，過球心O作OD⊥ABC于D，則D∈AE，且E是△ABC的重心，三棱錐的外接球的半徑R=OS=OD=3，AD=$\sqrt{3}$，求出PA=2$\sqrt{6}$，由此能求出該三棱錐的體積．

解答 解：如圖，∵在三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長為3的正三角形，
側棱SA⊥底面ABC，三棱錐的外接球的體積為36π，
∴三棱錐的外接球的半徑R=OS=OD=3，
過A作AE⊥BC，交BC于E，過球心O作OD⊥ABC于D，
則D∈AE，且E是△ABC的重心，
∴AD=$\frac{2}{3}AE$=$\frac{2}{3}\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴OD=$\sqrt{O{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
O到PA的距離為AD=$\sqrt{3}$，
∴PA=OD+$\sqrt{O{P}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴該三棱錐的體積：
V=$\frac{1}{3}×PA×{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{6}×（\frac{1}{2}×3×3×sin60°）$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．