分析 由已知可得∠A=∠ABD,∠BDC=2∠A,設(shè)AD=BD=x,由正弦定理在△BCD中$\frac{4}{sin2A}=\frac{x}{sin60°}$,在△AED中,可得$\frac{2\sqrt{2}}{sinA}=\frac{x}{1}$,聯(lián)立即可解得cosA的值.
解答 解:∵C=$\frac{π}{3}$,BC=4,點(diǎn)D在邊AC上,AD=DB,DE⊥AB,E為垂足,DE=2$\sqrt{2}$,
∴∠A=∠ABD,∠BDC=2∠A,設(shè)AD=BD=x,
∴在△BCD中,$\frac{BC}{sin∠CDB}$=$\frac{BD}{sinC}$,可得:$\frac{4}{sin2A}=\frac{x}{sin60°}$,①
在△AED中,$\frac{ED}{sinA}$=$\frac{AD}{sin∠AED}$,可得:$\frac{2\sqrt{2}}{sinA}=\frac{x}{1}$,②
∴聯(lián)立可得:$\frac{4}{2sinAcosA}$=$\frac{\frac{2\sqrt{2}}{sinA}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$,解得:cosA=$\frac{\sqrt{6}}{4}$.
故答案為:$\frac{\sqrt{6}}{4}$.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
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