Question

（2010•淄博一模）定義在R上的函數f（x）滿足f（-x）=-f（x+2），當x＞1時f（x）單調遞增，如果x₁+x₂＞2且（x₁-1）（x₂-1）＜0，則f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

A．恒小于0

B．恒大于0

C．可能為0

D．可正可負

Answer 1

分析：先由抽象表達式f（-x））=-f（x+2），推出函數的對稱中心為（1，0），再由當x＞1時f（x）單調遞增和函數的對稱性，可知函數f（x）在R上單調遞增且f（1）=0，最后分析x₁+x₂＞2且（x₁-1）（x₂-l）＜0，說明x₁、x₂一個大于1，一個小于1，且大于1的數距離1較遠，由函數的單調性和對稱性可知f（x₁）+f（x₂）恒大于零

解答：解：∵f（-x））=-f（x+2），∴函數f（x）的圖象關于（1，0）對稱，
∵x＞1時f（x）單調遞增，∴函數f（x）在R上單調遞增且f（1）=0
∵x₁+x₂＞2，∴（x₁-1）+（x₂-l）＞0
∵（x₁-1）（x₂-l）＜0
∴不妨設x₁＜x₂，則x₁＜1，x₂＞1，且|x₂-l|＞|x₁-1|
由函數的對稱性，∴f（x₁）+f（x₂）＞0
故選B

點評：本題考察了函數的對稱性和函數的單調性的綜合應用，熟練的將已知代數條件轉化為幾何條件是解決本題的關鍵