如圖所示，多面體ABCDS中，四邊形ABCD為矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD=2，SD=
3
AD，M、N分別為AB、CD中點．
（1）求證：SM⊥AN；
（2）求二面角A-SC-D的余弦值．
分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出SM，AN的方向向量，進(jìn)而根據(jù)向量垂直的充要條件，得到結(jié)論；
（2）分別求出平面ASC的法向量和平面SDC的一個法向量，代入向量夾角公式可和答案．
解答：證明：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
A（0，1，0），N（0，0，1），S（
3
，0，0），M（0，1，1），C（0，0，2），
-----------------------（3分
）
AN
=(0，-1，  1)，
SM
=(-
3
，  1，  1)，-----------------------（6分）
于是
AN
•
SM
=0×(-
3
)+(-1)×1+1×1=0，
所以SM⊥SM．-----------------------（8分）
（2）設(shè)平面ASC的法向量為
n1
=(x，y，z)，
AS
=(
3
，-1， 0)，
AC
=(0，  -1，  2)，
則
n1
•
AS
=
3
x-y=0且
n1
•
AC
=-y+2z=0，
令z=3，則x=2
3
，  y=6.
n1
=(2
3
，  6，  3)．-----------------------（12分）
又平面SDC的一個法向量
n2
=(0，  1，  0)．-----------------------（13分）
設(shè)二面角A-SC-D的平面角為θ，則cosθ=|cos?
n1
，  
n2
＞|=
6
1×
57
=
6
57
57
=
2
57
19
，
所以二面角A-SC-D的余弦值為
2
57
19
．-----------------------（16分）
點評：本題考查的知識點是有空間向量求平面間的夾角，建立空間坐標(biāo)系將空間線線垂直及二面角轉(zhuǎn)化為向量垂直及向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示的多面體，它的正視圖為直角三角形，側(cè)視圖為矩形，俯視圖為直角梯形（尺寸如圖所示）
精英家教網(wǎng)
（1）求證：AE∥平面DCF；
（2）當(dāng)AB的長為
92
，∠CEF=90°時，求二面角A-EF-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在如圖所示的多面體中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB=
2
，EF=EC=1，
（1）求證：平面BEF⊥平面DEF；
（2）求二面角A-BF-E的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G為BC的中點．
（1）求證：AB∥平面DEG；
（2）求證：BD⊥EG；
（3）求二面角C-DF-E的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•聊城二模）如圖所示的多面體，它的正視圖為直角三角形，側(cè)視圖為矩形，俯視圖為直角梯形（尺寸如圖所示）

（1）求證：AE∥平面DCF；
（2）若M是AE的中點，AB=3，∠CEF=90°，求證：平面AEF⊥平面BMC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，多面體EF-ABCD中，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥DC，∠ABC=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，正△ADE⊥平面ABCD，FC=2DC=6，AD=2
3
，H為AD中點．
（1）求證：BC⊥平面EFCH；
（2）求二面角H-BF-C的平面角的余弦值．

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