Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，PO⊥平面ABCD，AO=BO=DO=1，CO=PO=2，E是線段PA上的點(diǎn)，AE：AP=1：3．
（1）求證：OE∥平面PBC；
（2）求二面角D-PB-C的大�。�

Answer 1

證明：（1）由題意AE：AP=1：3，
又AO=1，AC=3，
∴AO：AC=1：3，
三角形PAC中，有OE∥PC，
又OE?平面PBC，PC?平面PBC，
由線面平行的判定定理得：OE∥平面PBC；

（2）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，由已知可得個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)：B（1，0，0），C（0，2，0），
P（0，0，2），D（-1，0，0）∴=（1，0，-2），=（0，，2，-2），
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為：=（x，y，z），則解得：，
取x=2，y=1，z=1，得：=（2，1，1）；
取平面PBD的一個(gè)法向量為═（0，1，0），則，
又因?yàn)槎�面角D-PB-C的平面角為銳角，所以二面角D-PB-C的大小為．
分析：對(duì)于（1），要證明OE∥平面PBC，只需證明OE與平面PBC內(nèi)的一條直線平行即可，而AO=BO=DO=1，CO=PO=2，
AE：AP=1：3，可以確定O是AC的三等分點(diǎn)，從而可以證明OE∥PC，從而得證；
對(duì)于（2），由AC⊥BD，垂足為O，PO⊥平面ABCD，可以得到OA、OB、OC三條線兩兩垂直，且二面角D-PB-C的平面角為銳角，
因而可以建立空間直角坐標(biāo)系，將求二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求平面PBC與平面PBD的法向量的夾角．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定和二面角的求法，注意其中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，將二面角轉(zhuǎn)化為向量的夾角去求．