Question

己知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，q≠1，a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列，則下列選項(xiàng)中的數(shù)成等差數(shù)列的是

1. A.
   S₂，S₈，S₆
2. B.
   S₃，S₉，S₆
3. C.
   S₄，S₉，S₅
4. D.
   S₃，S₈，S₅

Answer 1

B
分析：由等比數(shù)列{a_n}中的三項(xiàng)a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡，根據(jù)首項(xiàng)及公比不為0，可得出關(guān)于q³的方程，求出方程的解得到q³的值，然后利用等比數(shù)列的求和公式分別表示出S₃，S₉，S₆，代入式子2S₉-（S₃+S₆）中，提取后括號(hào)中各項(xiàng)化為關(guān)于q³的式子，將q³的值代入求出其值為0，可得出2S₉=S₃+S₆，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得出S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列．
解答：∵等比數(shù)列{a_n}中，a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列，
∴2a₈=a₂+a₅，即2a₁q⁷=a₁q+a₁q⁴，
∵a₁≠0，q≠0，
∴2q⁶-q³-1=0，即（2q³+1）（q³-1）=0，
解得：q³=-或q³=1（而q≠1，故舍去），
∴q³=-，
∵S_n=，
∴2S₉-（S₃+S₆）=（-2q⁹+q⁶+q³）
=[-2（q³）³+（q³）²+q³]
=[-2×（-）+-]=0，
即2S₉=S₃+S₆，
則S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列．
故選B
點(diǎn)評：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．