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6.已知函數(shù)f(x)=1+alnxx(a>0).
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,且函數(shù)y=f(x)圖象上一點的切線l過原點,求l的方程;
(Ⅱ)討論f(x)的單調(diào)性.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出a的值,設(shè)出切點坐標,表示出切線方程,根據(jù)方程過(0,0)點,求出切點坐標,求出切線方程即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=a1alnxx2
而函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,
故f′(1)=a-1=0,解得:a=1,
故f(x)=1+lnxx,f′(x)=lnxx2,
設(shè)切點是(m,1+lnmm),則f′(m)=lnmm2
故切線方程是:y-1+lnmm=-lnmm2(x-m),
將(0,0)代入方程得:-1+lnmm=-lnmm2•(-m),
解得:m=e12,f′(m)=12e,
故切點是(ee,e2e),
切線方程是:y-e2e=12e(x-e12),
即ex-2e2y+(e-1)e=0;
(Ⅱ)f′(x)=a1alnxx2,(x>0),
①a>0時,令f′(x)>0,解得:x<ea1a,令f′(x)<0,解得:x>ea1a,
故f(x)在(0,ea1a)遞增,在(ea1a,+∞)遞減;
②a=0時,f′(x)=-1x2<0,
故f(x)在(0,+∞)遞減;
③a<0時,令f′(x)>0,解得:x>ea1a,令f′(x)<0,解得:x<ea1a,
故f(x)在(0,ea1a)遞減,在(ea1a,+∞)遞增.

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,是一道中檔題.

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